Информация о задаче

Задача 61484

Тема:

[

Линейные рекуррентные соотношения

]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n $\geqslant$ 0):

a) a₀ = 0, a₁ = 1, a_{n + 2} = 4a_{n + 1} - 5a_n;

б) a₀ = 1, a₁ = 2, a_{n + 2} = 2a_{n + 1} - 2a_n;

в) a₀ = 1, a₁ = 2, a_{n + 2} + a_{n + 1} + a_n = 0;

г) a₀ = 1, a₁ = 8, a_{n + 2} = 6a_{n + 1} + 25a_n.

Ответ

а) a_n = ${\dfrac{i}{2}}$ $\left(\vphantom{-(2+i)^n+(2-i)^n}\right.$ - (2 + i)ⁿ + (2 - i)ⁿ $\left.\vphantom{-(2+i)^n+(2-i)^n}\right)$ ;
б) a_n = ${\dfrac{1-i}{2}}$ (1 + i)ⁿ + ${\dfrac{1+i}{2}}$ (1 - i)ⁿ;
в) a_3n = 1, a_{3n + 1} = 2, a_{3n + 2} = - 3;
г) a_n = i $\left(\vphantom{(3-4i)^n-(3+4i)^n}\right.$ (3 - 4i)ⁿ - (3 + 4i)ⁿ $\left.\vphantom{(3-4i)^n-(3+4i)^n}\right)$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	2
Название	Рекуррентные последовательности
Тема	Рекуррентные соотношения
задача
Номер	11.057