|
|
 |
Условие
Петя вырезал из пластмассы неравносторонний треугольник. Покажите, каким образом можно, пользуясь только этим инструментом как шаблоном, построить биссектрису какого-нибудь угла треугольника, равного вырезанному.
Решение
Приложим треугольник к бумаге и обведём его. Обозначим нарисованный треугольник ABC (AB ≠ BC). Затем перевернём треугольник, приложим его так, как показано на рисунке (серым цветом обозначено положение перевёрнутого треугольника) и обведём. Новые точки обозначим через A1 и C1. Пусть M – точка пересечения отрезков A1C1 и AC. Докажем, что BM – биссектриса угла ABC.
Из равенства треугольников ABC и A1BC1 следует, что AB = A1B и ∠BAC = ∠BA1C1. Значит, треугольник ABA1 – равнобедренный, поэтому
∠BAA1 = ∠BA1A, кроме того, ∠MAA1 = ∠BAA1 – ∠BAC = ∠BA1A – ∠BA1C1 = ∠MA1A. Таким образом, треугольник AMA1 также равнобедренный, и
AM = A1M. Поэтому треугольники ABM и A1BM равны по трём сторонам. Значит, ∠ABM = ∠A1BM, следовательно, BM – биссектриса угла ABC.
Замечания
Для знатоков. Разумеется, можно сразу воспользоваться тем, что биссектриса угла B – ось симметрии фигуры, показанной на рисунке.
