Задача 64363
|
|
 |
Условие
Из целых чисел от 0 до 1000 выбрали 101 число.
Докажите, что среди модулей их попарных разностей есть десять различных чисел, не превосходящих 100.
Решение
Пусть a0 < a1 < ... < a100 – выбранные числа, упорядоченные по возрастанию. Сумма десяти разностей a10 – a0, a20 – a10, ..., a100 – a90 равна
a100 – a0 ≤ 1000, поэтому одна из этих разностей не превосходит 100. Пусть это разность a10i+10 – a10i; тогда
0 < a10i+1 – a10i < a10i+2 – a10i < ... < a10i+10 – a10i ≤ 100.
Замечания
Если выбрать из чисел от 0 до 1000 все числа, кратные 10, то среди модулей их попарных разностей не найдётся десяти различных, не превосходящих 99.
