ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64393
Темы:    [ Пятиугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пятиугольник ABCDE, все углы которого тупые, вписан в окружность ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E1; продолжения сторон BC и DE – в точке A1. Касательная, проведённая в точке B к описанной окружности треугольника BE1C, пересекает ω в точке B1; аналогично определяется точка D1. Докажите, что  B1D1 || AE.


Решение

Отметим вне окружности на луче B1B точку M, а на луче D1D точку N (см. рис.). По теореме об угле между касательной и хордой равны углы MBE1 и BCE1, а также NDA1 и DCA1. Используя равенство вертикальных углов, получим, что  ∠ABB1 = ∠MBE1 = ∠BCE1 = ∠DCA1 = ∠NDA1 = ∠EDD1.  Следовательно, дуги AD1 и EB1 равны, откуда и следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2013
класс
Класс 9
задача
Номер 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .