Задача 64405

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]

Сложность: 3+ Классы:

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Точки E и F – середины не содержащих других вершин дуг AB и CD соответственно. Прямые, проходящие через точки E и F параллельно диагоналям четырёхугольника ABCD, пересекаются в точках K и L. Докажите, что прямая KL содержит точку O.

Решение

Пусть K – точка пересечения прямой, проходящей через E параллельно AC, и прямой, проходящей через F параллельно BD (см. рис.). Заметим, что
∠(KE, EF) = ∠(AC, EF) = ½ (⌣CF + ⌣AE) = ½ (⌣FD + ⌣EB) = ∠(BD, EF) = ∠(KF, EC).  Это значит, что треугольник KEF равнобедренный,  KE = KF.  Значит, параллелограмм EKEL – ромб, и KL – серединный перпендикуляр к EF. Поэтому KL проходит через O.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
класс
Класс	10
задача
Номер	10.5