Задача 64431

Темы:    [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Верно ли, что  2⁶² + 1  делится на  2³¹ + 2¹⁶ + 1?

Решение

  Первый способ. Пусть  2¹⁵ = а.  Тогда
    2⁶² + 1 = 4а⁴ + 1 = (4а⁴ + 4а² + 1) – 4а² = (2а² + 1)² – (2а)² = (2а² + 2а + 1)(2а² – 2а + 1) = (2³¹ + 2¹⁶ + 1)(2³¹ – 2¹⁶ + 1).
Следовательно,  2⁶² + 1  делится на  2³¹ + 2¹⁶ + 1.

  Второй способ. 2⁶² + 1 = 2³¹(2³¹ + 2¹⁶ + 1) – (2⁴⁷ + 2³¹ – 1) = 2³¹(2³¹ + 2¹⁶ + 1) – 2¹⁶(2³¹ + 2¹⁶ + 1) + (2³¹ + 2¹⁶ + 1).

Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2013/14
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5.1