Задача 64450

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Гордин Р.К.

В треугольнике ABC угол C прямой. На катете CB как на диаметре во внешнюю сторону построена полуокружность, точка N – середина этой полуокружности. Докажите, что прямая AN делит пополам биссектрису CL.

Решение

Продлим отрезок BN до пересечения с прямой AC в точке K. В треугольнике BCK высота CN является и биссектрисой, поэтому  KN = NB.  Углы BCL и CBK равны 45°, то есть  CL || BK.  Значит, в треугольнике ABK медиана AN делит пополам и CL.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	35
Дата	2013/2014
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	3