ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64456
Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC  (AC = BC)  угол при вершине C равен 20°. Биссектрисы углов A и B пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках A1 и B1. Докажите, что треугольник A1OB1 (где O – центр описанной окружности треугольника ABC) является равносторонним.


Решение 1

Возьмём на сторонах BC и AC точки A' и B' так, что  AB' = B'O = OA' = A'B.  Очевидно,  A'B' || AB,  то есть  ∠CA'B' = ∠CAB = 80°.  Кроме того,
A'OB = ∠A'BO = ∠BCO = 10°.  Значит,  ∠CA'O = 20°,  а  ∠OA'B' = 60°,  то есть треугольник OA'B' – равносторонний. Тогда  A'B' = A'B  и
A'BB' = ∠A'B'B = ∠ABB'  (рис. слева). Следовательно, точка B' совпадает с B1. Аналогично A' совпадает с A1, что и требовалось.


Решение 2

Очевидно,  A1B1 || AB,  поэтому  ∠B1A1A = ∠BAA1 = ∠B1AA1 = 40╟.  Значит,  B1A = B1A1.  Построим равносторонний треугольник A1O1B1 (O1 находится с той же стороны от прямой A1B1, что и точка C, рис. справа). В силу симметрии точка O1 лежит на биссектрисе угла C. Кроме того,  B1A = B1A1 = B1O1.  Угол при вершине равнобедренного треугольника AB1O1 равен 160°, значит, угол B1AO1 при его основании равен 10°. Следовательно, в треугольнике AO1C   ∠CAO1 = ∠O1CA,  то есть  O1A = O1C.  Аналогично  O1B = O1C,  значит, O1 совпадает с O.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2013
год
Год 2013
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .