Задача 64464

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Плотников М.

Пусть T₁, T₂ – точки касания вневписанных окружностей треугольника ABC со сторонами BC и AC соответственно. Оказалось, что точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника относительно середины AB, лежит на описанной окружности треугольника CT₁T₂. Найдите угол BCA.

Решение

Пусть D – четвёртая вершина параллелограмма ACBD, J – центр вписанной окружности треугольника ABD, S₁, S₂ – точки касания этой окружности с AD и BD. Тогда  DS₁ = BT₁  (см. задачу 55404), поэтому  S₁T₁ || AC.  Аналогично  S₂T₂ || BC,  то есть CT₁JT₂ – параллелограмм. Но по условию он вписан, следовательно, является прямоугольником.

Ответ

90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
год
Год	2013
задача
Номер	9