Задача 64466

Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Кожевников П.А.

а) Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть  r₁ ≤ r₂ ≤ r₃ ≤ r₄  – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA, DAB. Может ли оказаться, что  r₄ > 2r₃?

б) В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. Пусть  r₁ ≤ r₂ ≤ r₃ ≤ r₄  – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABE, BCE, CDE, DAE. Может ли оказаться, что  r₂ > 2r₁?

Решение

  а) Пусть для определенности  r₄ = r_ABC.  Середина K диагонали AC лежит в одном из треугольников ABD, CBD, скажем, в треугольнике ABD. Тогда треугольник AKL, где L – середина AB, целиком содержится в треугольнике ABD, поэтому  r_ABC = 2r_AKL < 2r_ABD ≤ 2r₃.

  б) Пусть  r = r₁  – радиус вписанной окружности треугольника ABE. Так как диаметры вписанных окружностей треугольников BCE, ADE меньше высот этих треугольников, совпадающих с высотами h_a, h_b треугольника ABE, достаточно доказать, что одна из этих высот не превосходит 4r. Пусть  AE ≥ BE.  Тогда полупериметр треугольника  p < AE + BE ≤ 2AE  и  

Ответ

а), б) Не может.

Замечания

Если константу 2 заменить на меньшую, то в обоих пунктах ответ изменится на положительный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
год
Год	2013
задача
Номер	11