ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64475
Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне AB треугольника ABC взята произвольная точка C1. Точки A1, B1 на лучах BC и AC таковы, что  ∠AC1B1 = ∠BC1A1 = ∠ACB.  Прямые AA1 и BB1 пересекаются в точке C2. Докажите, что все прямые C1C2 проходят через одну точку.


Решение

Из условия следует, что четырёхугольники ACA1C1 и BCB1C1 – вписанные. Поэтому  ∠B1BC1 = ∠ACC1,  ∠A1AC1 = ∠BCC1,  а значит,
AC2B = π – ∠C,  то есть C2 лежит на окружности, проходящей через A, B и точку C’, симметричную C относительно AB. При этом
BC'C1 = ∠BCC1 = ∠AC1C – ∠ABC = ∠AA1C – ∠ABC = ∠BAC2,  следовательно, прямая C'C1 проходит через C2 (см. рис.). Таким образом, все прямые C1C2 проходят через точку C'.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2013
год
Год 2013
задача
Номер 20

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .