Задача 64475

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Ясинский В.

На стороне AB треугольника ABC взята произвольная точка C₁. Точки A₁, B₁ на лучах BC и AC таковы, что  ∠AC₁B₁ = ∠BC₁A₁ = ∠ACB.  Прямые AA₁ и BB₁ пересекаются в точке C₂. Докажите, что все прямые C₁C₂ проходят через одну точку.

Решение

Из условия следует, что четырёхугольники ACA₁C₁ и BCB₁C₁ – вписанные. Поэтому  ∠B₁BC₁ = ∠ACC₁,  ∠A₁AC₁ = ∠BCC₁,  а значит,
∠AC₂B = π – ∠C,  то есть C₂ лежит на окружности, проходящей через A, B и точку C’, симметричную C относительно AB. При этом
∠BC'C₁ = ∠BCC₁ = ∠AC₁C – ∠ABC = ∠AA₁C – ∠ABC = ∠BAC₂,  следовательно, прямая C'C₁ проходит через C₂ (см. рис.). Таким образом, все прямые C₁C₂ проходят через точку C'.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
год
Год	2013
задача
Номер	20