ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64482
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
[ Тригонометрический круг ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли такое значение α, что все члены бесконечной последовательности cos α, cos 2α, ..., cos(2nα), ... принимают отрицательные значения?


Решение

  Пусть, например,  α = /3,  тогда  cos α = cos /3 = – ½. Далее можно рассуждать по-разному.

 Первый способ. Докажем по индукции, что все члены последовательности равны – ½. База уже есть.
 Шаг индукции. Пусть  cos(2kα) = – ½,  тогда  cos(2k+1α) = cos(2·2kα) = 2cos²(2kα) – 1 = 2(– ½)² – 1 = – ½.

  Второй способ. Заметим, что  cos 2α = cos /3 = cos (– /3) = – ½.  Докажем, что если n – чётно, то  2nα = /3 + 2πm,  а если нечётно, то
2nα = – /3 + 2πm,  где m – некоторое целое число.

  Действительно,  22k·/3 = /3 + 2πm  ⇔  4k – 1  кратно 3. Но это действительно так.
  Аналогично,  22k–1·/3 = – /3+ 2πm  ⇔  22k–1 + 1  кратно 3, что тоже верно.


Ответ

Существует.

Замечания

Можно доказать, что условию задачи удовлетворяют только числа вида  ± /3 + 2πm, где m – целое число.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2013/14
класс
Класс 11
задача
Номер 11.2.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .