ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64483
Темы:    [ Правильный тетраэдр ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Теорема косинусов ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На каждой грани правильного тетраэдра с ребром 1 во внешнюю сторону построены правильные тетраэдры. Четыре их вершины, не принадлежащие исходному тетраэдру, образовали новый тетраэдр. Найдите его рёбра.


Решение

  Пусть DABC – данный тетраэдр, О – ортогональная проекция вершины D на плоскость АВС, тогда О – центр треугольника АВС (см. рис. ).

  Первый способ. Рассмотрим РАВС и QBCD – два тетраэдра, построенные на гранях исходного тетраэдра Тогда PQ – ребро нового тетраэдра.
  Рассмотрим треугольник PKQ, где K – середина ребра ВС. Так как PK и QK – апофемы равных правильных тетраэдров, то  PK = QK = DKO – угол между гранями правильного тетраэдра, поэтому  cos∠DKQ = OK/DK = 1/3.  Тогда. cos∠PKQ = cos(3∠DKQ) = 4·1/27 – 3·1/3 = – 27/3.  Из треугольника PKQ   = 3/2·50/27 = 25/9.
  Остальные ребра искомого тетраэдра, очевидно, имеют ту же длину.

  Второй способ. Пусть М – точка пересечения медиан (центроид) исходного тетраэдра DABC, тогда М лежит на медиане DO тетраэдра и  DM : MO = 3 : 1.  Тетраэдр РАВС симметричен исходному относительно плоскости АВС, поэтому О – середина отрезка DP. Следовательно, точка М лежит на отрезке DP и  DM : MP = 3 : 5.
  Проведя аналогичные рассуждения для других построенных тетраэдров, получим, что вершины нового тетраэдра являются образами вершин исходного при гомотетии с центром М и коэффициентом 5/3. Значит, новый тетраэдр – правильный, а длина его ребра равна 5/3.


Ответ

Каждое ребро равно 5/3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2013/14
класс
Класс 11
задача
Номер 11.2.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .