ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64488
Темы:    [ Иррациональные неравенства ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Числа x, y, z и t лежат в интервале  (0, 1).  Докажите неравенство   < 4.


Решение 1

  Воспользуемся тем, что    при  a, b > 0.  Тогда   ,   ,   ,   .
  Сложив эти неравенства почленно, получим требуемое неравенство


Решение 2

  Рассмотрим квадрат ABCD со стороной 1. На его сторонах АВ, ВС, СD и DA отложим отрезки  AK = x,  BL = y,  CM = z  и  DN = t соответственно (см. рис.).
  Тогда требуемое неравенство примет вид  NK + KL + LM + MN < 4.  По неравенству треугольника  NK < AK + AN,  KL < BK + BL,
LM < CL + CM
  и  MN < DM + DN.  Сложив эти неравенства почленно, получим, что  NK + KL + LM + MN < AB + BC + CD + DA = 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2013/14
класс
Класс 11
задача
Номер 11.4.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .