|
|
 |
Условие
На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки M и K соответственно так, что ∠BAM = ∠CKM = 30°. Найдите ∠AKD.
Решение
Из условия следует, что ∠BMA = ∠CMK = 60°, а тогда и ∠AMK = 60° (рис. слева). Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Пусть AH – перпендикуляр, опущенный из вершины A на MK. Тогда прямоугольные
треугольники AMB и AMH равны по гипотенузе и острому углу, откуда AH = AB. Если точка H лежит на отрезке MK, то прямоугольные треугольники AKH и AKD равны по гипотенузе и катету. Следовательно, ∠AKD = ½ ∠MKD = 75°.
Если H лежит на продолжении отрезка MK за точку K, то отрезок AH пересекает сторону CD в точке X. Но тогда AH > AX > AD, что противоречит равенству AH = AD.
Второй способ. Диагональ CA квадрата является биссектрисой внутреннего угла треугольника CMK, а луч MA – биссектрисой его внешнего угла, поэтому вершина A – центр вневписанной окружности этого треугольника. Следовательно, KA также является биссектрисой внешнего угла треугольника CMK, поэтому ∠AKD = ½ ∠MKD = 75°.
Третий способ. Продлим отрезок KM до пересечения с прямой AB в точке P (рис. справа). Тогда ∠PMB = ∠CMK = ∠AMB. Следовательно, прямоугольные треугольники PMB и AMB равны (по катету и острому углу), то есть AP = 2a, где a – сторона данного квадрата, и PM = AM.
По свойству катета, противолежащего углу в 30°, AM = 2BM и MK = 2MC. Следовательно, PK = PM + MK = 2(BM + MC) = 2BC = 2a.
Таким образом, треугольник APK – равнобедренный с углом 30° при вершине P, поэтому угол MKA при его основании равен 75°, а
∠AKD = 180° – 30° – 75°.
