|
|
 |
Условие
Корни квадратного трёхчлена f(x) = x² + bx + c равны m1 и m2, а корни квадратного трёхчлена g(x) = x² + px + q равны k1 и k2.
Докажите, что f(k1) + f(k2) + g(m1) + g(m2) ≥ 0.
Решение
Обозначим: A = f(k1) + f(k2) + g(m1) + g(m2).
Первый способ. Так как f(x) = (x – m1)(x – m2), g(x) = (x – k1)(x – k2), то f(k1) + f(k2) = (k1 – m1)(k1 – m2) + (k2 – m1)(k2 – m2),
g(m1) + g(m2) = (m1 – k1)(m1 – k2) + (m2 – k1)(m2 – k2).
Сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители за скобки, получим:
A = (k1 – m1)(k1 – m2 – m1 + k2) + (k2 – m2)(k1 – m2 – m1 + k2) = (k1 – m2 – m1 + k2)2 ≥ 0.
Второй способ.
Аналогично, g(m1) + g(m2) = b² – 2c – pb + 2q. Следовательно, A = p² – 2q – bp + 2c + b² – 2c – pb + 2q = p² – 2bp + b² = (p – b)² ≥ 0.
