Задача 64547

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы:

Условие

Точка F – середина стороны BC квадрата ABCD. К отрезку DF проведён перпендикуляр AE. Найдите угол CEF.

Решение

  Пусть прямая AE пересекает сторону CD квадрата в точке M (см. рис.). Тогда треугольники ADM и DCF равны (по катету и острому углу). Следовательно, точка M – середина стороны CD. Значит, треугольник CFM – прямоугольный равнобедренный, поэтому  ∠CMF = 45°.

  Так как  ∠MEF = ∠MCF = 90°,  то четырёхугольник MCFE – вписанный. Поэтому  ∠CEF = ∠CMF = 45°.

Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2013
класс
Класс	10
задача
Номер	10.3