Задача 64553
|
|
 |
Условие
Для квадратного трёхчлена f(x) и некоторых действительных чисел l, t и v выполнены равенства: f(l) = t + v, f(t) = l + v, f(v) = l + t.
Докажите, что среди чисел l, t и v есть равные.
Решение
Пусть f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). Из условия вытекают следующие равенства:
al² + bl + c = t + v, at² + bt + c = v + l, av² + bv + c = l + t.
Вычитая из первого равенства второе, получим a(l² – t²) + b(l – t) = t – l. Аналогично, a(l² – v²) + b(l – v) = v – l.
Предположим, что l ≠ t и l ≠ v. Тогда a(l + t) + b = –1, a(l + v) + b = –1.
Вычитая, получим a(t – v) = 0, откуда t = v.
