Условие
На окружности отмечено 20 точек. Сколько существует таких троек хорд с концами в этих точках, что каждая хорда пересекает две остальные (возможно, в концах)?
Решение
Концами хорд в тройке могут являться 3, 4, 5 или 6 точек. Разберём эти случаи.
1) Концами хорд являются 3 точки (см. рис.). Их можно выбрать 
способами. Соединить каждую тройку точек хордами попарно можно единственным способом.
2) Концами хорд являются 4 точки. Возможны два случая взаимного расположения хорд (см. рис.). Четыре точки можно выбрать
способами. Для каждой четвёрки точек существует 8 способов их соединить хордами попарно.
3) Концами хорд являются 5 точек. В этом случае ровно две хорды имеют общую вершину, третья хорда соединяет две оставшиеся точки (см. рис.). Пять точек можно выбрать
способами. Для каждой пятерки точек существуют пять вариантов проведения хорд (по количеству точек, в которых сходятся две хорды).
4) Концами хорд являются 6 точек (см. рис.). Шесть точек можно выбрать
способами. Для каждой шестёрки точек есть единственный способ проведения хорд, так как хорды должны попарно пересекаться во внутренних точках.
Таким образом, всего способов проведения хорд будет
Ответ
156180.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Окружная олимпиада (Москва) |
|
год |
|
Год |
2013 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
11.6 |
