Задача 64567

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На равных сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что  AC = CM  и  MN = NB.  Высота треугольника, проведенная из вершины B, пересекает отрезок CM в точке H. Докажите, что NH – биссектриса угла MNC.

Решение

  Пусть  ∠АВH = α  (см. рис.). Так как высота BD данного треугольника является и биссектрисой, то  ∠АВC = 2α.  Треугольник BNM – равнобедренный, поэтому  ∠ВMN = ∠АВC = 2α. Треугольник АСМ – также равнобедренный, значит,  ∠CMA = ∠CAM = 90° – α.

  Таким образом,  ∠CMN = 180° – ∠ВMN – ∠CMA = 180° – 2α – (90° – α) = 90° – α.  Следовательно, MC – биссектриса угла AMN. Так как BD – биссектриса внутреннего угла треугольника ВMN, а MC – биссектриса его внешнего угла, то точка Н их пересечения является центром вневписанной окружности этого треугольника. Следовательно, NH – биссектриса внешнего угла MNC треугольника ВMN.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2013/14
класс
Класс	8
задача
Номер	8.4.2