Задача 64589

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Обыкновенные дроби ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Толпыго А.К.

Найдите все возрастающие арифметические прогрессии с конечным числом членов, сумма которых равна 1, а каждый член имеет вид ¹/_k, где k натуральное.

Решение 1

  Пусть ¹/_m – наибольший член прогрессии. Тогда в прогрессии более m членов (иначе сумма меньше 1). С другой стороны, разность прогрессии
d ≥ ¹/_m – ¹/_m+1 = ¹/_m(m+1),  поэтому членов не более  m + 1.  Итак, число членов равно  m + 1,  а среднее арифметическое всех членов равно  ¹/_m+1.  Поскольку только один член прогрессии больше среднего арифметического, в прогрессии не более трёх членов. Поэтому  m + 1 = 3,  а сама прогрессия –  ¹/₆, ¹/₃, ¹/₂.

Решение 2

  Домножив на НОК знаменателей, получим возрастающую арифметическую прогрессию {a_i} из n натуральных чисел, сумма S которой делится на каждый член. Члены этой прогрессии, очевидно, не имеют общего делителя, значит, её разность d взаимно проста с каждым членом. Разберём два случая.
  1)  n = 2k.  Тогда  S = ⁿ/₂ (a_k + a_k+1) = na_k+1 – kd,  откуда kd, а поэтому и k кратно a_k+1. Но это невозможно, так как  a_k+1 > k.
  2)  n = 2k + 1.  Тогда  S = na_k+1 = na_k + nd,  откуда  n = 2k + 1  кратно a_k. Но поскольку  a_k ≥ k,  это возможно только при  a_k = k = 1.  Отсюда единственный ответ:  ¹/₆, ¹/₃, ¹/₂.

Ответ

¹/₆, ¹/₃, ¹/₂.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	29
Дата	2007/2008
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	3