Задача 64597

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Найдите все натуральные n, при которых  (n + 1)!  делится на сумму  1! + ... + n!.

Решение

  Пусть  n > 2  и  (n + 1)! = k(1! + ... + n!).  Заметим, что  k < n  (поскольку  n(1! + ... + n!) > n((n – 1)! + n!) = n·(n – 1)! + n·n! = n! + n·n! = (n + 1)! ).
  Разделив равенство на k, получим  (k – 1)!(k + 1)(k + 2)·...·n = 1! + ... + n!.  Однако левая часть в этом равенстве чётна, а правая нечётна. Противоречие.

Ответ

n = 1, 2.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	29
Дата	2007/2008
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	4