Задача 64603

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Правило произведения ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Дана таблица (см. рис.).

Можно в ней переставлять строки, а также столбцы (в любом порядке).
Сколько различных таблиц можно получить таким образом из данной таблицы?

Решение

Заметим, что числа в каждом ряду таблицы различны. Кроме того, для любого клетчатого прямоугольника сумма чисел, стоящих в его противоположных углах, равна по модулю 7 сумме чисел, стоящих в двух других противоположных углах. При разрешённых перестановках эти свойства, очевидно, сохраняются. Поэтому итоговая таблица полностью определяется своими верхней строкой и левым столбцом. С другой стороны, перестановками столбцов можно получить любую из 7! перестановок чисел в верхней строке, а перестановками строк со второй по седьмую – любую из 6! перестановок чисел в шести нижних клетках левого столбца.

Ответ

7!·6! таблиц.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	29
Дата	2007/2008
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	5