Задача 64605

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах АВ и ВС треугольника АВС выбраны точки К и М соответственно так, что  КМ || АС.  Отрезки АМ и КС пересекаются в точке О. Известно, что  АК = АО  и  КМ = МС.  Докажите, что  АМ = КВ.

Решение

∠COM = ∠AOK = ∠AKO, ∠KCM = ∠CKM = ∠ACK,  поэтому  ∠AMC = 180° – ∠COM – ∠KCM = 180° – ∠AKC – ∠ACK = ∠KAC = ∠BKM.  Следовательно, треугольники AMC и BKM равны по стороне  (МC = KM)  и двум прилежащим углам, и  АМ = ВK.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	29
Дата	2007/2008
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	2