ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64615
Темы:    [ Последовательности (прочее) ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Все натуральные числа выписали в ряд в некотором порядке (каждое число по одному разу). Обязательно ли найдутся несколько (больше одного) чисел, выписанных подряд (начиная с какого-то места), сумма которых будет простым числом?


Решение

  Покажем как записать натуральные числа в бесконечную последовательность, где таких "простых сумм" нет.
  Возьмём  a1 = 1,  a2 = 3.  Пусть конечная последовательность a1, a2, ..., an  (n > 1)  без "простых сумм" уже построена, и m – наименьшее натуральное число, которое не является ее членом. Положим  S = a1 + a2 + ... + an + m,  an+1 = S!,  an+2 = m.  Полученная последовательность a1, ..., an+2 также не содержит "простых сумм". Действительно, любая сумма, содержащая слагаемое an+1, равна  S! + k,  где  1 < k ≤ S,  и не является простым числом, поскольку делится на k.
  Продолжая такое построение по индукции, мы получим бесконечную последовательность. Из построения очевидно, что каждое натуральное число попадает в эту последовательность ровно один раз.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .