Задача 64627

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Стозначное натуральное число n назовём необычным, если десятичная запись числа n³ заканчивается на n, а десятичная запись числа n² не заканчивается на n. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел.

Решение

Например, такими числами являются  n₁ = 10¹⁰⁰ – 1 = 99...9  и  n₂ = 5·10⁹⁹ – 1.  Действительно, числа     и     делятся на 10¹⁰⁰; это означает, что
  оканчивается на n_i. С другой стороны, числа     не делятся на 5 (и тем более на 10¹⁰⁰); значит,    не оканчивается на n_i.

Замечания

Существуют и другие необычные стозначные числа.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2013-2014
этап
	1
Вариант	4
класс
Класс	10
задача
Номер	10.2