|
|
 |
Условие
Дан выпуклый семиугольник. Выбираются четыре произвольных его угла и вычисляются их синусы, от остальных трёх углов вычисляются косинусы. Оказалось, что сумма таких семи чисел не зависит от изначального выбора четырёх углов. Докажите, что у этого семиугольника найдутся четыре равных угла.
Решение
Рассмотрим одну из сумм из условия. Затем переставим в ней аргументы одного синуса и одного косинуса (назовём эти аргументы α и β, соответственно) сумма при этом изменится на
По условию значение суммы не изменяется, значит, sin(α – π/4) = sin(β – π/4). Поскольку α, β ∈ (0, π), это может случиться лишь при α – π/4 = β – π/4 или α – π/4 = π – (β – π/4), то есть при β = α или β = 3π/2 – α.
Итак, если α – произвольный угол семиугольника, то каждый из остальных его углов равен либо α, либо 3π/2 – α. Значит, углы семиугольника принимают не более двух различных значений, поэтому четыре из них принимают одно и то же значение.
