Задача 64635

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

На доске написано выражение  ,  где a, b, c, d, e, f – натуральные числа. Если число a увеличить на 1, то значение этого выражения увеличится на 3. Если в исходном выражении увеличить число c на 1, то его значение увеличится на 4; если же в исходном выражении увеличить число e на 1, то его значение увеличится на 5. Какое наименьшее значение может иметь произведение bdf?

Решение

  Произведение знаменателей может быть равным 60. Один из возможных примеров:  .

  Оценка. Пусть значение исходного выражения равно A. Тогда в результате первой операции произведение примет значение  ,  откуда
A = 3a.  Значит, A – натуральное число, кратное 3. Аналогично доказывается, что  A = 4c = 5e. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Ясно, что A делится на  3·4·5 = 60, поэтому  A ≥ 60.
  Переписав равенство    в виде  ,  получаем  60bdf = A² ≥ 60²,  откуда  bdf ≥ 60.

  Второй способ. Имеем     Умножив первое равенство на второе и разделив на третье, получаем, что  .  Поскольку дробь справа несократима, знаменатель bdf делится на 5. Аналогично доказывается, что он делится на 3 и на 4, откуда следует, что он делится на 60, то есть не меньше 60.

Ответ

60.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2013-2014
этап
	1
Вариант	4
класс
Класс	11
	1
задача
Номер	11.2