Задача 64644

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Клетки таблицы 5×7 заполнены числами так, что в каждом прямоугольнике 2×3 (вертикальном или горизонтальном) сумма чисел равна нулю. Заплатив 100 рублей, можно выбрать любую клетку и узнать, какое число в ней записано. Какого наименьшего числа рублей хватит, чтобы наверняка определить сумму всех чисел таблицы?

Решение

  Пусть в центральной клетке таблицы написано число a. Тогда сумма S всех чисел таблицы равна – a, поскольку сумму  S + a  можно разбить на шесть нулевых сумм по шесть слагаемых так, как показано на рисунке. Следовательно, достаточно узнать одно число – центральное.

  С другой стороны, таблица, заполненная числами a и – a в шахматном порядке, удовлетворяет условию задачи. Значит, сумма  S = – a  может быть любой, и хотя бы одно число узнать нужно.

Ответ

100 рублей.

Замечания

1. Чтобы определить S одним вопросом, необходимо узнать именно центральное число. Для доказательства рассмотрим следующую таблицу.

Она, очевидно, удовлетворяет условию. Ясно, что клетки, где стоят нули, не дают возможность определить сумму S всех чисел  (S = –a).  Также не несут нужной информации те клетки, которые можно получить из "нулевых" симметриями относительно центра или средних линий таблицы. Остаются подозрительными только крайние клетки в средней строке. Но в этой таблице числа в них отличаются знаком от S, а в приведённой в решении "шахматной" таблице совпадают с S.

2. 4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	35
Дата	2013/2014
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	3