Задача 64645

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Женодаров Р.Г.

На стороне BC треугольника ABC выбрана точка L так, что AL в два раза больше медианы CM. Оказалось, что угол ALC равен 45°.
Докажите, что AL и CM перпендикулярны.

Решение

Пусть N – середина отрезка AL. Тогда MN – средняя линия треугольника BAL. Поэтому LMNC – трапеция (или параллелограмм) с равными диагоналями, то есть равнобедренная трапеция (или прямоугольник). Один из углов между её диагоналями LN и CM в два раза больше угла NLC, то есть равен 90°.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	35
Дата	2013/2014
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	4