|
|
 |
Условие
Вокруг равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) описана окружность. Касательная к ней в точке В пересекает луч АС в точке D, Е – середина стороны АВ, Н – основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую АВ. Найдите длину ЕН, если AD = a.
Решение
Отметим середину отрезка AD – точку K (см. рис.). Тогда HK – медиана прямоугольного треугольника AHD, проведённая к гипотенузе, значит,
HK = ½ AD = a/2. Кроме того, KE – средняя линия треугольника ADB, то есть KE || DB.
Пусть ∠ВАС = α, тогда ∠KHA = α (так как KH = KA) и ∠DВС = α (угол между касательной и хордой). Кроме того, ∠СВА = 90° – α/2, поэтому
∠KEH = ∠DBH = 90° – α/2. Но и ∠EKH = 180° – (∠KEH + ∠KHE) = 90° – α/2, значит, треугольник KEH – равнобедренный, и EH = KH = 0,5a.
Ответ
0,5а.
