|
|
 |
Условие
В гандбольном турнире в один круг (победа – 2 очка, ничья – 1 очко, поражение – 0) приняло участие 16 команд. Все команды набрали разное количество очков, причём команда, занявшая седьмое место, набрала 21 очко. Докажите, что победившая команда хотя бы один раз сыграла вничью.
Решение
В каждом матче разыгрывается 2 очка. Всего в турнире было сыграно 16·15 : 2 = 120 матчей, то есть разыграно 240 очков. Команды, занявшие девять последних мест, сыграли между собой 9·8 : 2 = 36 матчей, то есть разыграли 72 очка. Следовательно, на долю семи первых команд остается не более чем 240 – 72 = 168 очков.
При этом команда, занявшая шестое место, набрала не меньше 22 очков, занявшая 5 место – не меньше 23 очков, и так далее. Так как
21 + 22 + ... + 27 = 168, то каждая из них ровно столько очков и набрала. В частности, победившая команда набрала 27 очков. Это число – нечётно, поэтому она хотя бы один раз сыграла вничью.
