ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64699
Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Рожкова М.

В неравнобедренном треугольнике ABC проведены высота из вершины A и биссектрисы из двух других вершин.
Докажите, что описанная окружность треугольника, образованного этими тремя прямыми, касается биссектрисы, проведённой из вершины A.


Решение

Обозначим через I точку пересечения биссектрис, а через X и Y – точки пересечения высоты с биссектрисами углов B и C соответственно. Пусть для определённости  AB > AC;  тогда точки I и Y лежат на отрезках BY и AX, соответственно. Значит,  ∠AIY = ½ ∠A + ½ ∠B = 90° – ½ ∠C = ∠IXY,  откуда (по теореме об угле между касательной и хордой) и следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2010
класс
Класс 8
задача
Номер 8.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .