Задача 64702

Темы:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Богданов И.И.

В равные углы X₁OY и YOX₂ вписаны окружности ω₁ и ω₂, касающиеся сторон OX₁ и OX₂ в точках A₁ и A₂ соответственно, а стороны OY – в точках B₁ и B₂. C₁ – вторая точка пересечения A₁B₂ и ω₁, а C₂ – вторая точка пересечения A₂B₁ и ω₂. Докажите, что C₁C₂ – общая касательная к окружностям.

Решение

  Можно считать, что  OA₂ > OA₁.  Треугольники OA₁B₂ и OB₁A₂ равны по двум сторонам и углу между ними, значит,  A₁B₂ = A₂B₁,  ∠OB₂A₁ = ∠OA₂B₁  и  ∠OA₁B₂ = ∠OB₁A₂.  Пусть  ∠A₁OB₁ = ∠B₂OA₂ = φ.  Тогда  ∠A₁C₁B₁ = 90° – ^φ/₂ = 180° – (90° + ^φ/₂) = 180° – ∠A₂C₂B₂.  Следовательно, четырёхугольник B₂C₂B₁C₁ вписан, поэтому  ∠B₁C₂C₁ = ∠B₁B₂C₁ = ∠OA₂B₁.
  Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Поскольку прямые C₁C₂ и OA₂ образуют равные углы с хордой A₂C₂ окружности ω₂, а OA₂ – касательная, то и C₁C₂ – также касательная. Касание C₁C₂ и ω₁ доказывается аналогично.

  Второй способ. По теореме о секущей и касательной:  B₁C₂·B₁A₂ = (B₁B₂)² = B₂C₁·B₂A₁,  то есть  B₂C₁ = B₁C₂.  Поскольку четырёхугольник B₁C₂B₂C₁ вписан, он является равнобокой трапецией и, следовательно, симметричен относительно линии центров наших окружностей.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
класс
Класс	8
задача
Номер	8.4