|
|
 |
Условие
В городе Плоском нет ни одной башни. Для развития туризма жители города собираются построить несколько башен общей высотой в 30 этажей. Инспектор Высотников, поднимаясь на каждую башню, считает число более низких башен, а потом складывает получившиеся величины. После чего инспектор рекомендует город тем сильнее, чем получившаяся величина больше. Сколько и какой высоты башен надо построить жителям, чтобы получить наилучшую возможную рекомендацию?
Решение
Пусть какая-то из башен имеет высоту h > 2. Сбросим с неё верхний этаж, превратив его в новую башню высоты 1. Как после этого изменится сумма у инспектора? С укороченной нами башни теперь не видны
башни высоты h – 1. Зато, так как h > 2, со всех этих башен (включая укороченную) стала видна новая башня. Значит, вся сумма у инспектора увеличилась. Следовательно, башни высоты больше 2 строить бессмысленно.
Осталось изучить случай, в котором все башни имеют высоту 1 или 2. Если первых x, а вторых y (x + 2y = 30), то сумма у инспектора равна
xy = (30 – 2y)y = 2y(15 – y) = 2(7,5² – (y – 7,5)²).
Для целых y это выражение принимает максимальное значение при y = 7 и y = 8 и равно 112.
Ответ
Либо 16 одноэтажных и 7 двухэтажных, либо 14 одноэтажных и 8 двухэтажных башен.
