ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64712
Темы:    [ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На столе лежат 9 яблок, образуя 10 рядов по 3 яблока в каждом (см. рис.).

Известно, что у девяти рядов веса одинаковы, а вес десятого ряда от них отличается. Есть электронные весы, на которых за рубль можно узнать вес любой группы яблок. Какое наименьшее число рублей надо заплатить, чтобы узнать, вес какого именно ряда отличается?


Решение

  Прежде чем тратить деньги, подумаем.
  Пусть l1, l2, l3 – веса трёх выделенных жирным (см. рис. а) наклонных рядов, v1, v2, v3 – веса трёх вертикальных рядов. Тогда  l1 + l2 + l3 = v1 + v2 + v3:  и то, и другое – это просто сумма весов всех девяти яблок. Но по меньшей мере пять из шести этих величин равны одной и той же величине t, значит, равны и все шесть.

  Аналогичным образом получаем, что веса остальных трёх наклонных рядов тоже равны t. Мы нашли девять рядов, веса которых равны. Значит, отличается вес оставшегося ряда, горизонтального.

Ответ

0 рублей.

Замечания

Описанная ситуация действительно возможна – см. рис. (подойдут любые a, b, c, для которых  2b ≠ a + c;  можно показать, что все примеры имеют такой вид).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2014
Номер 77
класс
Класс 8
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .