|
|
 |
Условие
Найдите все значения a, для которых найдутся такие x, y и z, что числа cos x, cos y и cos z попарно различны и образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, при этом числа cos(x + a), cos(y + a) и cos(z + a) также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.
Решение
Числа cos(x + a), cos(y + a), cos(z + a) образуют арифметическую прогрессию, значит, 2cos(y + a) = cos(x + a) + cos(z + a),
2cos y cos a – 2sin y sin a = cos x cos a – sin x sin a + cos z cos a – sin z sin a, (2cos y – cos x – cos z)cos a = (2sin y – sin x – sin z)sin a.
По условию числа cos x, cos y, cos z также образуют арифметическую прогрессию, значит, 2cos y = cos x + cos z, и поэтому левая часть этого равенства равна нулю. Следовательно, либо sin a = 0 и a = πk, k ∈ Z, либо 2sin y = sin x + sin z, то есть числа sin x, sin y, sin z также образуют арифметическую прогрессию. Но в последнем случае точка с координатами (cos y, sin y) является серединой отрезка с концами в точках
(cos x, sin x), (cos z, sin z) и при этом все три точки лежат на единичной окружности с центром в начале координат, что невозможно.
Для a = πk подходящим примером являются числа x = 0, y = π/2, z = π.
Ответ
a = πk, k ∈ Z.
