ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64720
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Тригонометрический круг ]
[ Тригонометрические уравнения ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все значения a, для которых найдутся такие x, y и z, что числа cos x, cos y и cos z попарно различны и образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, при этом числа  cos(x + a),  cos(y + a)  и  cos(z + a)  также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.


Решение

  Числа  cos(x + a),  cos(y + a),  cos(z + a)  образуют арифметическую прогрессию, значит,  2cos(y + a) = cos(x + a) + cos(z + a),
2cos y cos a – 2sin y sin a = cos x cos a – sin x sin a + cos z cos a – sin z sin a,  (2cos y – cos x – cos z)cos a = (2sin y – sin x – sin z)sin a.
  По условию числа cos x, cos y, cos z также образуют арифметическую прогрессию, значит,  2cos y = cos x + cos z,  и поэтому левая часть этого равенства равна нулю. Следовательно, либо  sin a = 0  и  a = πk, kZ,  либо  2sin y = sin x + sin z,  то есть числа sin x, sin y, sin z также образуют арифметическую прогрессию. Но в последнем случае точка с координатами  (cos y, sin y)  является серединой отрезка с концами в точках
(cos x, sin x),  (cos z, sin z)  и при этом все три точки лежат на единичной окружности с центром в начале координат, что невозможно.
  Для  a = πk  подходящим примером являются числа  x = 0,  y = π/2z = π.


Ответ

a = πkkZ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2014
Номер 77
класс
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .