ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64759
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан правильный треугольник ABC, площадь которого равна 1, и точка P на его описанной окружности. Прямые AP, BP, CP пересекают соответственно прямые BC, CA, AB в точках A', B', C'. Найдите площадь треугольника A'B'C'.


Решение

  Заметим, что  ∠CAB = ∠ACB = ∠APB = ∠BPC = ∠APC' = ∠CPA' = 60°,  ∠PBC = ∠PAC = ∠PC'A,  ∠PBA = ∠PCA = ∠PA'C  (см. рис.). Следовательно, следующие пары треугольников подобны:  BPC' и A'PBC'PA и APB'A'PC и CPB'.

  Из первого подобия следует, что  BP² = C'P·A'P,  из второго:  AP² = C'P·B'P,  из третьего:  CP² = B'P·A'P.  Вычислим площадь треугольника A'B'C' как сумму площадей треугольников C'B'P, C'A'P и A'B'P (используя тот факт, что углы при вершине P этих треугольников равны 120°):
    где a – длина стороны треугольника ABC. Действительно,  AP² + BP² + CP² = 2a²  (см. задачу 53114 или задачу 57080). Поскольку     то SA'B'C' = 2.


Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 12 (2014 год)
Дата 2014-04-12
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .