ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64762
Темы:    [ Разложение на множители ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Серёжа выбрал два различных натуральных числа a и b. Он записал в тетрадь четыре числа:  a,  a + 2,  b и  b + 2.  Затем он выписал на доску все шесть попарных произведений чисел из тетради. Какое наибольшее количество точных квадратов может быть среди чисел на доске?


Решение

  Заметим, что никакие два квадрата натуральных чисел не отличаются на 1:  x² – y² = (x – y)(x + y),  а вторая скобка больше единицы. Значит, числа
a(a + 2) = (a + 1)² – 1  и  b(b + 2) = (b + 1)² – 1  квадратами не являются.
  Числа ab и  a(b + 2)  не могут одновременно являться квадратами, иначе их произведение  a2b(b + 2)  также было бы квадратом, а тогда и число
b(b + 2)  тоже. Аналогично, из чисел  (a + 2)b  и  (a + 2)(b + 2)  максимум одно может быть квадратом. Итого, квадратов на доске не больше двух.
  Два квадрата могут получиться, например, при  a = 2  и  b = 16:  тогда  a(b + 2) = 6²  и  (a + 2)b = 8².


Ответ

Два квадрата.

Замечания

Существуют и другие примеры, например,  a = 6  и  b = 96.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .