ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64764
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шмаров В.

Точка M – середина стороны AC остроугольного треугольника ABC, в котором  AB > BC.  Касательные к описанной окружности Ω треугольника ABC, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке P. Отрезки BP и AC пересекаются в точке S. Пусть AD – высота треугольника BP. Описанная окружность ω треугольника CSD второй раз пересекает окружность Ω в точке K. Докажите, что  ∠CKM = 90°.


Решение

  Точки M и D лежат на окружности γ с диаметром AP. Так как точки C, K, D и S лежат на окружности ω,  ∠KDP = ∠ACK = ∠KAP,  то есть точки A, D, K и P лежат на одной окружности. Следовательно,  ∠AKP = ∠ADP = 90°  (см.рис.).

  Отсюда  ∠MKP = 180° – ∠MAP = 180° – ∠ABC = ∠AKC.  Значит,  ∠MKC = ∠AKC – ∠AKM = ∠MKP – ∠AKM = ∠AKP = 90°.

Замечания

Из условия следует, что точка D лежит внутри Ω, но вне треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 9.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .