ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64776
Темы:    [ Гомотетичные многоугольники ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости дано n выпуклых попарно пересекающихся k-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы     из этих k-угольников.


Решение

  Лемма. Пусть P и P' – пересекающиеся выпуклые многоугольники, гомотетичные с положительным коэффициентом. Тогда одна из вершин одного из них лежит в другом.
  Доказательство. Если один из многоугольников полностью лежит в другом, то утверждение очевидно. В противном случае найдётся сторона AB многоугольника P, пересекающая границу P'. Если P' содержит одну из точек A или B, то утверждение доказано. В ином случае P' пересекает AB по отрезку, лежащему внутри AB.
  Заметим, что у P' есть вершины по обе стороны от прямой AB. Рассмотрим сторону A'B' многоугольника P', соответствующую AB. Заметим, что
A'B' || AB.  Возьмём произвольную вершину C' многоугольника P', лежащую по другую сторону от прямой AB, нежели сторона A'B'. Пусть C – вершина многоугольника P, соответствующая C'. Тогда C' лежит в треугольнике ABC, так как относительно каждой из прямых AB, BC и AC она находится по ту же сторону, что и этот треугольник. Тем самым C' принадлежит P.

  Пусть P1, ..., Pn – данные k-угольники, и пусть Ai1, ..., Aik – вершины многоугольника Pi. Для каждой вершины Aij посчитаем количество aij многоугольников Ps  (s ≠ i),  в которых она лежит. По лемме каждая пара многоугольников вносит единичный вклад хотя бы в одну из величин aij. Значит,  a11 + ... + ank ≥ ½ n(n – 1).  Поэтому одно из чисел aij не меньше     Так как вершина Aij лежит в многоугольнике Pi и ещё в aij других многоугольниках, она принадлежит хотя бы     многоугольникам.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 10.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .