|
|
 |
Условие
На плоскости дано n выпуклых попарно пересекающихся k-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы из этих k-угольников.
Решение
Лемма. Пусть P и P' – пересекающиеся выпуклые многоугольники, гомотетичные с положительным коэффициентом. Тогда одна из вершин одного из них лежит в другом.
Доказательство. Если один из многоугольников полностью лежит в другом, то утверждение очевидно. В противном случае найдётся сторона AB многоугольника P, пересекающая границу P'. Если P' содержит одну из точек A или B, то утверждение доказано. В ином случае P' пересекает AB по отрезку, лежащему внутри AB.
Заметим, что у P' есть вершины по обе стороны от прямой AB. Рассмотрим сторону A'B' многоугольника P', соответствующую AB. Заметим, что
A'B' || AB. Возьмём произвольную вершину C' многоугольника P', лежащую по другую сторону от прямой AB, нежели сторона A'B'. Пусть C – вершина многоугольника P, соответствующая C'. Тогда C' лежит в треугольнике ABC, так как относительно каждой из прямых AB, BC и AC она находится по ту же сторону, что и этот треугольник. Тем самым C' принадлежит P.
Пусть P1, ..., Pn – данные k-угольники, и пусть Ai1, ..., Aik – вершины многоугольника Pi. Для каждой вершины Aij посчитаем количество aij многоугольников Ps (s ≠ i), в которых она лежит. По лемме каждая пара многоугольников вносит единичный вклад хотя бы в одну из величин aij. Значит, a11 + ... + ank ≥ ½ n(n – 1). Поэтому одно из чисел aij не меньше Так как вершина Aij лежит в многоугольнике Pi и ещё в aij других многоугольниках, она принадлежит хотя бы
многоугольникам.
