ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64777
Темы:    [ Тригонометрические неравенства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли такое положительное число α, что при всех действительных x верно неравенство   |cos x| + |cos αx| > sin x + sin αx?


Решение 1

  Предположим, что  0 < α ≤ 1.  Тогда при  x = π/2  левая часть примет значение  |cos απ/2|,  то есть будет не больше 1, в то время как правая часть будет равна  1 + sin απ/2,  то есть она больше 1. Итак, неравенство не выполнено.
  Если же  α > 1,  то, обозначив  αx = t  и  β = 1/α,  мы приведём неравенство из условия к виду  |cos βt| + |cos t| > sin βt + sin t,  сводя задачу к предыдущему случаю.


Решение 2

  Выберем такое x, что  x(α + 1) = π/2x и αx лежат в интервале  (0, π/2),  поэтому  |cos x| = cos x = sin αx  и  |cos αx| = cos αx = sin x.  Значит, для выбранного x имеем  |cos x| + |cos αx| = sin αx + sin x.


Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
Вариант 5
класс
Класс 11
задача
Номер 11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .