|
|
 |
Условие
Существует ли такое положительное число α, что при всех действительных x верно неравенство |cos x| + |cos αx| > sin x + sin αx?
Решение 1
Предположим, что 0 < α ≤ 1. Тогда при x = π/2 левая часть примет значение |cos απ/2|, то есть будет не больше 1, в то время как правая часть будет равна 1 + sin απ/2, то есть она больше 1. Итак, неравенство не выполнено.
Если же α > 1, то, обозначив αx = t и β = 1/α, мы приведём неравенство из условия к виду |cos βt| + |cos t| > sin βt + sin t, сводя задачу к предыдущему случаю.
Решение 2
Выберем такое x, что x(α + 1) = π/2. x и αx лежат в интервале (0, π/2), поэтому |cos x| = cos x = sin αx и |cos αx| = cos αx = sin x. Значит, для выбранного x имеем |cos x| + |cos αx| = sin αx + sin x.
Ответ
Не существует.
