ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64798
Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC отмечены середины сторон AC и BC – точки M и N соответственно. Угол MAN равен 15°, а угол BAN равен 45°.
Найдите угол ABM.

Решение 1

Продолжим отрезок MN на его длину в обе стороны и получим точки K и L (рис. слева). Так как M – общая середина отрезков AC и KN, то AKCN – параллелограмм. Значит,  ∠CKM = 45°,  ∠KCM = 15°.  Отметим на отрезке CM точку P так, чтобы угол CKP был равен 15°. Тогда отрезок KP разобьёт треугольник KCM на два равнобедренных треугольника. Кроме того,   ∠PMN = 60°,  поэтому треугольник MPN – равносторонний. Треугольники PLN и PKM равны, треугольник CPL – равнобедренный и прямоугольный, CLBM – параллелограмм, следовательно,  ∠ABM = ∠CLN = ∠CLP + ∠MLP = 75°.

               

Решение 2

Пусть G – точка пересечения медиан треугольника ABC, F – середина GB, треугольник GFO равносторонний, причём точки O и A лежат в одной полуплоскости относительно MB (рис. справа). Тогда  ∠MOB = 120° = 2∠MAB,  значит, O – центр описанной окружности треугольника MAB. При этом  ∠MOG = 30° = 2∠MAG,  поэтому лучи AG и OG проходят через одну точку описанной окружности треугольника AMB. Отсюда следует, что точки A, O и G лежат на одной прямой. Значит,  ∠AMB = ∠MOA : 2 = 75°.


Ответ

75°.

Замечания

В решении 1 можно использовать тот факт, что построенная точка P – центр описанной окружности треугольника KCL.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2014
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .