Задача 64812

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Проекция на прямую (прочее) ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Богданов И.И., Френкин Б.Р.

Вершины равнобедренного треугольника и центр его описанной окружности лежат на четырёх различных сторонах квадрата.
Найдите углы треугольника.

Решение

  Пусть ABCD – квадрат, вершины X, Y, Z равнобедренного треугольника лежат на сторонах BC, CD, DA соответственно, а центр O его описанной окружности лежит на AB (см. рис.).

  Так как отрезок OY пересекает отрезок XZ, угол XYZ – тупой, поэтому основанием равнобедренного треугольника является именно XZ. Значит, отрезки OY и XZ перпендикулярны. Поскольку их соответственные проекции на перпендикулярные прямые BC и AB равны, они и сами равны, то есть сторона треугольника XYZ равна радиусу его описанной окружности.
  Угол XYZ – тупой, следовательно, он равен 150°.

Ответ

15°, 15° и 150°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
класс
Класс	10
задача
Номер	10.1