ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64812
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Проекция на прямую (прочее) ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вершины равнобедренного треугольника и центр его описанной окружности лежат на четырёх различных сторонах квадрата.
Найдите углы треугольника.


Решение

  Пусть ABCD – квадрат, вершины X, Y, Z равнобедренного треугольника лежат на сторонах BC, CD, DA соответственно, а центр O его описанной окружности лежит на AB (см. рис.).

  Так как отрезок OY пересекает отрезок XZ, угол XYZ – тупой, поэтому основанием равнобедренного треугольника является именно XZ. Значит, отрезки OY и XZ перпендикулярны. Поскольку их соответственные проекции на перпендикулярные прямые BC и AB равны, они и сами равны, то есть сторона треугольника XYZ равна радиусу его описанной окружности.
  Угол XYZ – тупой, следовательно, он равен 150°.


Ответ

15°, 15° и 150°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2014
класс
Класс 10
задача
Номер 10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .