Задача 64821
|
|
 |
Условие
Правильный тетраэдр обладает таким свойством: для каждых двух его вершин найдётся третья вершина, образующая с этими двумя правильный треугольник. Существуют ли другие многогранники, обладающие этим свойством?
Решение
Зафиксируем две точки, A и B. Множеством точек X, для которых треугольник ABX равносторонний, является окружность. Возьмём на этой окружности точки C, D, E так, чтобы треугольник CDE был равносторонним. Многогранник с вершинами A, B, C, D, E обладает требуемым свойством. Действительно, каждая пара его вершин входит в один из равносторонних треугольников ABC, ABD, ABE и CDE. (Получившийся многогранник по-другому можно описать как две правильные треугольные пирамиды с высотой, равной половине боковой стороны, склеенные по основанию.)Ответ
Существуют.
