Задача 64845

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

На столе лежала кучка серебряных монет. Каждым действием либо добавляли одну золотую монету и записывали количество серебряных монет на первый листок, либо убирали одну серебряную монету и записывали количество золотых монет на второй листок. В итоге на столе остались только золотые монеты. Докажите, что в этот момент сумма всех чисел на первом листке равнялась сумме всех чисел на втором.

Решение

  Пусть в начале было n серебряных монет, а в конце – m золотых. Будем изображать ситуацию в каждый момент точкой  (k, l)  на координатной плоскости (k – число золотых монет на столе, l – число серебряных). Каждое действие – сдвиг на единицу вправо или вниз – будем изображать соответствующим отрезком. В результате получится ступенчатая ломаная, соединяющая точки  (0, n)  и  (m, 0)  (см. рис.).

  При сдвиге вправо на первом листке записывается число, равное площади столбца, расположенного под проведённым отрезком, при сдвиге вниз на втором листке записывается число, равное площади планки, расположенной левее проведённого отрезка. Поэтому в конце сумма чисел на каждом листке будет равна площади, ограниченной проведённой ломаной и осями координат.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	36
Дата	2014/15
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	5