ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64876
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На окружности ω c центром O фиксированы точки A и C. Точка B движется по дуге AC. Точка P – фиксированная точка хорды AC. Прямая, проходящая через P параллельно AO, пересекает прямую BA в точке A1; прямая, проходящая через P параллельно CO, пересекает прямую BC в точке C1. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A1BC1 движется по прямой.


Решение

Пусть Q – вторая точка пересечения прямой AC с окружностью A1PC1. Тогда  ∠QA1C1 = ∠QPC1 = ∠QCO = ∠QAO = ∠APA1 = ∠QC1A1.  Следовательно,  QA1 = QC1  и  ∠A1QC1 = ∠AOC = 2∠A1BC1,  то есть Q – центр описанной окружности треугольника A1BC1 (см. рис.). Таким образом, этот центр движется по прямой AC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2014
тур
задача
Номер 13

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .