|
|
 |
Условие
Четырёхугольник АВСD – вписанный. Лучи АВ и DС пересекаются в точке M, а лучи ВС и AD –
в точке N. Известно, что ВМ = DN.
Докажите, что CM = CN.
Решение
Пусть ∠MBC = α, тогда ∠CDN = ∠ABC = 180° – α (рис. слева). Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. По теореме синусов в треугольниках ВСМ и DCN: и
Так как
ВМ = DN, ∠ВСМ = ∠DCN, то CM = CN.
Второй способ. "Отрежем" треугольник DСN и приложим его к треугольнику ВСМ, совместив равные отрезки DN и ВМ (рис. в центре). Так как
∠MBC + ∠CDN = 180°, то в результате образуется новый треугольник, в котором равны углы при вершинах С и C', значит, он – равнобедренный. Следовательно, CM = CN.
Третий способ. Пусть описанная окружность треугольника ВСМ пересекает MN в точке Р (рис. справа). Тогда ∠NPC = ∠MBC = α, значит, точка Р лежит на описанной окружности треугольника DCN. Так как ВМ = DN и ∠ВСМ = ∠DCN, то радиусы этих окружностей равны. Углы CMN и CNM треугольника МСN опираются на равные дуги этих окружностей, поэтому эти углы равны. Следовательно, CM = CN.
Замечания
Точка Р, полученная в третьем способе, называется точкой Микеля для прямых NA, NB, MA и MD. Через эту точку проходят также описанные окружности треугольников ANB и AMD.
