ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 64895
УсловиеТочки D, Е и F – середины сторон ВС, АС и АВ треугольника АВС соответственно. Через центры вписанных окружностей треугольников AEF, BDF и СDE проведена окружность. Докажите, что её радиус равен радиусу описанной окружности треугольника DEF. РешениеЗаметим, что треугольник DEF подобен треугольнику АВС с коэффициентом k = 0,5 (см. рис.). Обозначим центры вписанных окружностей треугольников AEF, BDF и СDE через A', B' и C' соответственно, тогда окружность, содержащая эти точки, описана около треугольника A'B'C'. k = 0,5, получим, что точки B' и C' – середины отрезков BI и CI соответственно. Следовательно, отрезки A'B', B'C' и C'A' – средние линии треугольников AIB, BIC и CIA. Таким образом, треугольник A'B'C' также подобен треугольнику АВС с коэффициентом k = 0,5. Значит, треугольники A'B'C и DEF равны, поэтому равны и радиусы их описанных окружностей. ЗамечанияДля решения можно также использовать следующие факты: 1) описанная окружность треугольника DEF является окружностью девяти точек треугольника АВС; 2) стороны треугольника DEF соответственно параллельны сторонам треугольника АВС, так как равны радиусы вписанных окружностей треугольников AEF, BDF и СDE. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |