|
|
 |
Условие
Существуют ли такие две функции с наименьшими положительными периодами 2 и 6, что их сумма имеет наименьший положительный период 3?
Решение
Пусть, например, f(x) = cos 2/3 πx + cos πx, g(x) = – cos πx, тогда их сумма h(x) равна cos 2/3 πx.
Наименьший положительный период функции g(x) равен 2π : π = 2, а наименьший положительный период функции h(x) равен 2π : 2π/3 = 3.
Докажем, что наименьший положительный период функции f(x) равен 6. Действительно, число 6 кратно 3 и 2, поэтому является как периодом функции h(x), так и периодом функции g(x), значит, является и периодом их разности.
Предположим, что положительное число T является периодом функции f(x). Тогда
cos 2/3 πT + cos πT = cos 0 + cos 0 = 2 ⇔ cos 2/3 πT = cos πT = 1 ⇔ cos 2/3 πT = cos πT = 1 ⇔ 2/3 πT = 2πk, πT = 2πn, k, n ∈ N. Следовательно,
T = 3k = 2n. Значит, T – целое число, кратное как 2, так и 3, то есть оно не меньше 6.
Ответ
Существуют.
Замечания
Есть и другие примеры.
