ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64897
Темы:    [ Периодичность и непериодичность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие две функции с наименьшими положительными периодами 2 и 6, что их сумма имеет наименьший положительный период 3?


Решение

  Пусть, например,  f(x) = cos 2/3 πx + cos πx,  g(x) = – cos πx,  тогда их сумма h(x) равна  cos 2/3 πx.
  Наименьший положительный период функции g(x) равен  2π : π = 2,  а наименьший положительный период функции h(x) равен  2π : /3 = 3.
  Докажем, что наименьший положительный период функции f(x) равен 6. Действительно, число 6 кратно 3 и 2, поэтому является как периодом функции h(x), так и периодом функции g(x), значит, является и периодом их разности.
  Предположим, что положительное число T является периодом функции  f(x). Тогда
cos 2/3 πT + cos πT = cos 0 + cos 0 = 2  ⇔  cos 2/3 πT = cos πT = 1  ⇔  cos 2/3 πT = cos πT = 1  ⇔  2/3 πT = 2πk,  πT = 2πnk, nN.  Следовательно,
T = 3k = 2n.  Значит, T – целое число, кратное как 2, так и 3, то есть оно не меньше 6.


Ответ

Существуют.

Замечания

Есть и другие примеры.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2014/15
класс
Класс 11
задача
Номер 11.4.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .